BAB VII. KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

    Koordinat Kartesius dan Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Dalam koordinat kartesius dimensi tiga patokan mula yang diambil  adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y dan sumbu z. Ketiga sumbu ini menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang y. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, ..., VIII.

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainya dibawah bidang xy.

 

gambar 7.1 

 

gambar 7.2 

Oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berturut-turut tepat dibawah oktan-oktan I, II, III dan IV (lihat gambar 7.2)

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu kebidang-bidang koordinat yz, xz dan xy dan arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P (x,y,z). Dimana titik x disebut absis, titik y disebut koordinat dan titik z disebut aplikat. 

 

CONTOH

Tentukan posisi oktan pada titik P (2,3,4) dengan koordinat kartesius tiga dimensi

Jawab:

Pada titik-titik diatas dapat kita lihat bahwa pada titik P dimana x bernilai positif, y positif dan z positif sehingga dapat kita bayangkan bahwa titik P berada pada oktan I 

 

Jarak dua titik

 

 

 

Perhatikan gambar diatas, kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P  

 

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

   

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa

 

Sehingga didapat bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

   

Untuk mencari jarak suatu titik ke titik yang lain

 

 

Vektor dalam ruang dimensi tiga

  

 

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃>, maka perkalian titiknya didefinisikan sebagai berikut

 

 

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi

Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,

   

PERKALIAN VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃> maka perkalian kedua vektor adalah,

   

HASIL KALI SILANG DUA VEKTOR

Perkalian silang dua vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k didefinisikan sebagai berikut,

   

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

   

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.