Assalamualaikum Wr. Wb.
Pengertian Geometri Analitik
Apa itu "Geometri Analitik" ? seperti yang diketahui sebelumnya bahwa
"Geometri adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
hubungan antara titik-titik, garis-garis, bidang-bidang serta bangun datar dan
bangun ruang(solid)". sedangkan Geometri Analitik itu sendiri merupakan
kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang
diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Dengan membuat
korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat
kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri
yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan
diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik).Sebaliknya gambar geometri
sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara
aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara
geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar
penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri.
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS TEGAK LURUS
untuk menentukan letak atau posisi suatu titik pada sebuah bidang datar
diperlukan suatu patokan. Patokan ini dapat ditentukan dari dua garis yang
kedudukannya saling tegak lurus seperti yang terlihat pada Gambar 1.1 berikut:
Catatan: Dua garis yang saling tegak lurus tersebut salah satunya
digambar secara mendatar (horizontal), sedangkan yang lainnya digambar tegak
(vertikal). Selanjutnya coba Anda perhatikan Gambar 1.2. berikut, yang
merupakan keterangan lanjutan dari Gambar 1.1.
Titik potong dua garis yang saling tegak lurus tersebut biasanya diberi
nama O dan disebut titik asal (pusat sumbu). Garis yang digambarkan secara
mendatar dinamakan sumbu X. Pada sumbu X ini, dari titik O ke kanan disebut
arah positif, sedangkan dari titik O ke kiri disebut arah negatif (sumbu X
negatif). Sementara itu, garis yang digambar secara vertikal (tegak) dinamakan
sumbu Y. Pada sumbu Y ini, dari titik O ke atas dikatakan arah positif (sumbu Y
positif).
Sedangkan dari titik O ke bawah dikatakan sebagai arah negatif (sumbu Y
negatif). Secara umum, kedudukan dua garis dengan ketentuan-ketentuan seperti
yang telah disebutkan di atas dinamakan Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus.
Untuk Anda ketahui bahwa sistem koordinat ini dapat dipergunakan untuk
menentukan letak atau posisi suatu titik pada bidang datar.
Dari sistem koordinat Kartesian Tegak Lurus, pada sumbu-sumbu
koordinatnya dilengkapi dengan skala satuan panjang yang sama, baik pada sumbu
X maupun pada sumbu Y seperti yang tampak pada Gambar 1.3. Tujuan pencantuman
skala tersebut tentunya untuk mempermudah penentuan letak suatu titik ataupun
jarak suatu titik ke titik yang lainnya jika menggunakan sistem koordinat
tersebut.
Gambar 1.3
Selanjutnya, perhatikan Gambar 1.4. Pada Gambar tersebut diketahui
bahwa titik A terletak pada 5 satuan panjang ke kanan (arah positif) dari sumbu
Y dan 3 satuan panjang ke atas (arah positif) dari sumbu X. Kondisi ini dapat
ditulis sebagai A(5, 3). Dari posisi A (5, 3) dapat pula dikatakan bahwa absis
titik A adalah 5, sedangkan koordinatnya adalah 3. Sementara itu,
koordinat-koordinat titik B adalah pasangan terurut (-4, 5) yang menyatakan 4 satuan
panjang ke kiri dari sumbu Y dan 5 satuan panjang ke atas dari sumbu X.
Sedangkan C (0, -6)
adalah suatu titik yang posisinya terletak pada sumbu Y dengan 6 satuan panjang
ke bawah dari titik asal. Selanjutnya, jika terdapat suatu titik dengan notasi
P (x, y), maka yang dimaksud notasi tersebut adalah suatu titik P yang
berkoordinat (x, y). Sedangkan pasangan bilangan (x, y) dengan x sebagai tempat
bilangan pertama dan y sebagai tempat bilangan kedua dinamakan “pasangan
bilangan terurut”. Seandainya terdapat dua pasangan bilangan terurut, misal (a,
b) dan (c, d), dua pasangan bilangan ini dikatakan sama jika dan hanya jika a =
c dan b = d. Berarti, jika terdapat dua pasangan titik dengan koordinat (5, 3)
dan (3, 5), maka pastilah dua pasangan titik tersebut tidak sama. ((5, 3) ¹ (3, 5)). Apabila
pasangan-pasangan yang berbeda tersebut menyatakan koordinat titik pada bidang,
tentunya pasangan-pasangan bilangan terurut tersebut menyatakan titik-titik
yang berbeda pula.
Gambar 1.4
Sebagai keterangan tambahan bahwa sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan
sumbu Y) membagi bidang datar menjadi 4 (empat) daerah yang masing-masing
disebut kuadran, yaitu kuadran I (daerah dengan sumbu X positif dan sumbu Y
positif, kuadran II (daerah dengan sumbu X negatif dan sumbu Y positif),
kuadran III (daerah dengan sumbu X negatif dan sumbu Y negatif), dan kuadran IV
(daerah dengan sumbu X positif dan sumbu Y negatif). Untuk lebih jelasnya
posisi keempat kuadran tersebut dapat Anda lihat pada Gambar 1.6 Sebagai
pengayaan, seandainya R menyatakan himpunan semua bilangan real, maka R2 = R x
R = {(x, y)|x Î R
dan y Î R} adalah himpunan semua
pasangan terurut dengan tempat bilangan pertama dan tempat bilangan kedua
masing-masing bilangan real. Berarti, setiap bilangan real dapat dinyatakan
sebagai suatu titik pada garis bilangan, atau dengan kata lain ada pemadanan
(korespondensi) satu-satu antara himpunan semua bilangan real dengan himpunan
semua titik pada suatu garis lurus. Selanjutnya, apabila sumbusumbu koordinat
dipandang sebagai garis bilangan, maka setiap titik pada bidang datar dapat
dinyatakan sebagai pasangan bilangan real. Ini berarti, setiap titik pada
bidang dapat dikaitkan dengan suatu pasangan bilangan real terurut yang
menyatakan koordinat titik-titik tersebut. Dengan kata lain dapat dikatakan
bahwa suatu sistem koordinat kartesian pada bidang meletakkan pemadanan
(korespondensi) satu-satu antara titik pada bidang dengan pasangan-pasangan
bilangan real terurut dari R2 .
Gambar 1.5
Tabel 1. Hubungan nilai absis dan ordinat suatu titik terhadap
posisinya pada suatu kuadran Sistem Koordinat Cartesius
Pemecahan Masalah Polya
Pemecahan masalah
(problem solving) merupakan suatu
prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur
tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang
guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan
masalah yaitu : understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :
1)
Understanding the
Problem
Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah
memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik
yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :
a.
Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !
b.
Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
c.
Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?
d.
Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?
e.
Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan
itu ?
f.
Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan
itu ?
2)
Devising a Plan
Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana
penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi
pemecahan masalah antara lain :
a.
Menemukan pola
b.
Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang
sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
c.
Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari
permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya
d.
Membuat tabel
e.
Membuat diagram / gambar
f.
Menebak dan memeriksa (guess
and check / trial and error)
g.
Menggunakan persamaan (equation)
matematika
h.
Bekerja mundur (work
backward)
i.
Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)
3)
Carrying Out the
Plan
Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas
yaitu :
a.
Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk
menemukan penyelesaian atau perhitungan
b.
Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara
intuitif maupun dengan bukti formal
c.
Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah
4)
Looking Back
Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali
jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :
a.
Memeriksa dengan pembuktian
b.
Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan
permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)
c.
Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang
relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan
masalah tersebut
Contoh penerapan
pemecahan masalah polya :
Gambarkan masalah kedalam bentuk sistem koordinat
kartesius, deskripsikan kedudukan titik-titik yang memenuhi penyelesaian
tersebut
1)
Tentukan kedudukan dari :
a.
Rute seorang pelari yang
bergerak dengan jarak yang sama terhadap sisi jalur lari yang lurus
Penyelesaian :
Tahap pemecahan
masalah
1.
Understanding
problem
a.
Nyatakan masalah
dengan kalimatmu sendiri
Misalkan seorang
pelari adalah garis P dan garis A dan B adalah sisi jalur lari yang lurus atau
dua garis sejajar.
Maka posisi pelari
yaitu berada diantara sisi jalur lari yang lurus yang dimisalkan garis A dan
garis B yang sejajar
b.
Tentukan apa
yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !
Kedudukan seorang
pelari yang berada diantara sisi jalur lari yang lurus
c.
Apa saja yang
tidak diketahui dari permasalahan itu?
Kedudukan rute
seorang pelari
d.
Informasi apa
yang kamu peroleh ?
-garis A dan garis B
berbeda posisi
- jarak sisi jalur
lari yang lurus sama dengan rute seorang pelari
c.
2. Devising a Plan
Strategi pemecahan masalah
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
a.
Membuat
diagram/gambar
Menggambarkan posisi
garis A, B dan garis P sesuai kondisi masalah
b.
Menguji masalah
yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan
Memeriksa jika ada satu
atau lebih teorema kedudukan titik yang menyerupai masalah
3 Carrying Out the Plan
a.
Membuat diagram
gambar
b.
Memeriksa jika
ada teorema yang sesuai
Teorema 1.4
: kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis sejajar dan berada
diantara keduanya.
Berdasarkan
gambar dan teorema, maka kedudukan rute pelari dapat di deskripsikan sebagai
garis lurus yang sejajar dengan sisi jalur lari dan berada diantara pertengahan
sisi jalur lari.
4. Looking Back
Memeriksa kembali solusi dengan cara :
a.
Memeriksa dengan
pembuktian teorema 1.4 secara deduktif
b.
Menginterpretasikan
penyelesaian permasalahan berdasarkan argumentasi
-
Dua garis
sejajar garis A dan garis B akan ada tiga kemungkinan titik-titik yang berjarak
sama
-
Yang pertama
diatas garis A tetapi tidak memiliki jarak yang sama terhadap garis b
-
Kedua dibawah
garis B, tetapi tidak memiliki jarak yang sama terhadao garis A
-
Ketiga dibawah
garis A dan diatas garis B atau pertengahan antara garis A dan garis B yang
memiliki jarak yang sama terhadap kedua garis sejajar
Kedudukan Titik-titik
dan Jarak antara Dua Titik
Titik
tidak memiliki panjang, satuan serta ukuran namun memiliki kedudukan atau
posisi dan dilambangkan dengan noktah. Konsep titik diperkenalkan dalam
geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki
dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which
has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap,
sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak
seperti yang terjadi di alam.
Untuk
menentukan letak atau posisi suatu titik pada bidang datar diperlukan suatu
patokan. Patokan itu dapat ditentukan dari dua garis yang saling tegak lurus,
salah satu mendatar (horisontal) yang biasa disebut sumbu X dan yang lain tegak
(vertikal) yang biasa disebut sumbu Y. Titik potong dua sumbu tersebut diberi nama
lambang O dan disebut titik asal (awal). Dari titik O ke kanan atau ke atas
disebut arah positif dan dari titik O ke kiri atau ke bawah disebut arah
negatif. Letak suatu titik P dikaitkan dengan dua bilangan yang dinamakan
koordinat x dan koordinat y dari titik P tersebut. Koordinat x titik P disebut
absis titik P adalah koordinat x proyeksi P pada sumbu X. Koordinat y titik P
disebut ordinat titik P adalah koordinat y proyeksi P pada sumbu Y.
Koordinat-koordinat titik P adalah pasangan bilangan terurut (x, y). Ingat
bahwa (x, y) ¹
(y, x).
Pasangan-pasangan
bilangan terurut (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d.
Sumbu-sumbu datar dan tegak membagi bidang datar menjadi 4 bagian (kuadran)
yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV. Setiap titik pada
bidang datar dapat dikaitkan dengan tepat satu pasangan bilangan real terurut
yang menyatakan koordinat-koordinat titik tersebut. Atau dengan kata lain suatu
sistem koordinat Kartesian pada bidang meletakkan pemadanan (korespondensi)
satu-satu antara titik-titik pada bidang dan pasangan-pasangan bilangan real
terurut dari R2.
Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk
himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan
kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai
suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat
dinyatakan sebagai x2 + y2 = 1. Secara geometris, hanya
titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi
kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x2 + y2 =
1.
Teorema kedudukan titik
Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems)
sebagai berikut.
