BAB II. GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

A.     Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya.

                Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0

untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Contoh

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut :

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2) Þ A(1) + B(2) + C = 0 Þ A + 2B + C = 0 ---------------------------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4) Þ A(3) + B(-4) + C = 0 Þ -3A + 4B + C = 0------------------------ pers. 2

Garis melalui C(5, 0) Þ A(5) + B(0) + C = 0 Þ 5A + C = 0--------------------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel

−𝐴+2𝐵+𝐶=0

3𝐴+4𝐵+𝐶=0

5𝐴+𝐶=0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem liniernya yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0 .

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di bawah ini

Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut a. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

 

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut. Garis tersebut melalui dua titik yaitu P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂). Sudut yang dibentuk garis P₁P₂ adalah a. Pada gambar terlihat sebuah segitiga sikusiku dengan hipotenusa P₁ P₂, panjang sisi alas x₂ – x₁ dan panjang sisi tegak y₂ – y₁. Nilai tangent sudut a dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ⇒ 𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒎

 

Gradien suatu garis 

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 ⇒ 𝑩𝒚 = −𝑨𝒙 − 𝑪 ⟹ 𝒚 = − 𝑨 𝑩 𝒙 − 𝑪 𝑩 ⟹ 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Tabel 1. Hubungan antara gradien, sudut inklinasi, dan bentuk garis

Garis	Titik-titik dilalui garis	Persamaan garis bergradien	Nilai gradien(m)	Nilai sudut inklinasi	Deskripsi bentuk garis
p	A(1, 1) B (5, 4)		m > 0	sudut lancip	Dari kiri bawah ke kanan atas  (  /  )
q	A(1, 1) C(7, 1)	y = 1	m = 0	a = 0°	Mendatar, sejajar sumbu x   (¾)
r	B(5, 4) C(7, 1)		m < 0	sudut tumpul	Dari kiri atas ke kanan bawah  (  \  )
s	B(5, 4) D(5, 1)	x = 5	m tidak terdefinisi	a = 90°	Horizontal sejajar sumbu y  (  | )

B.  Sifat-sifat garis dalam bidang

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

 

Contoh:

Tentukan persamaan garis jika diketahui titik potong garis dengan sumbu koordinat Cartesius yaitu (a, 0) dan (0, b).

Penyelesaian:

Diketahui  : Sebuah garis yang memotong sumbu x di (a, 0) dan sumbu y di (0, b)

Ditanyakan : Persamaan garis … ?

Identifikasi masalah : Misalkan persamaan garis y = mx + c melalui (a, 0) dan (0, b). Maka

substitusi koordinat titik ke dalam persamaan menghasilkan : am + c = 0 dan b = c sehingga diperoleh am + b = 0 dan gradient garis . Jadi persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) yaitu :  

Jika dua buah garis berpotongan maka akan terbentuk empat buah sudut yang berpangkal di titik sudut yang sama yaitu titik potong kedua garis tersebut seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Sudut q dibentuk oleh sinar  dan sedangkan sudut f dibentuk oleh sinar dan

 

C.  Persamaan normal sebuah garis

Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0).

 

Garis normal suatu garis yang memotong

sumbu x dan y

rumus:

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

dengan,

Contoh:

Persamaan kurva berderajat satu x + 2y - 5 = 0 pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan normal dengan langkah sebagai berikut.

1)      Menentukan sudut normal b

Gradien garis yaitu 𝑚 =  maka sudut inklinasi a = arc tan m = arc tan () »53,43°.

Hubungan sudut inklinasi a dan b : 𝛼 =  90° +  𝛽. Telah diketahui sudut inklinasi a » 153,43°

maka sudut b » 63,43°

2)      Menentukan jarak titik (0, 0) ke garis yaitu p

Titik potong garis dan sumbu x ditentukan dengan mensubtitusikan y = 0 sehingga diperoleh titik potong (5, 0) maka   = 5 Þ p = 5 cos b = 5 cos 63,43° » 5 × 0,447 »  2, 24

Maka persamaan normal garis x + 2y - 5 = 0 yaitu : x cos 63,43° + y sin 63,43° - 2,24 = 0  

 

Persamaan normal tersebut dapat diubah kembali menjadi persamaan garis sebagai kurva berderajat atau pun persamaan garis bergradien sebagai berikut :

x cos 63,43°  + y sin 63,43°  - 2,24 = 0 Þ 0,45x + 0,89 y - 2, 24 = 0 Þx + 2y – 5 = 0

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.