BAB III. GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Kurva Berderajat Dua (Lingkaran)

Lingkaran adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang.

 persamaankurva berderajat dua

Lingkaran

Esentrisitas : Perbandingan tetap
Diretriks : Garis tetap

Esentrisitas = e = d : d'
e = 1 jika d = d'
e < 1 jika d /d' < 1 atau d < d'
e > 1 jika d > d'

 

Karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu:
1.      Esentrisitas (accentricity) :Perbandingan Tetap
2.      Garis Direktriks (directrix) : Garis Tetap
3.      Titik Fokus

 

Esentrisitas : e = d : d'

e = 1 jika d = d'

e < 1 jika d /d' < 1 atau d < d'

e > 1 jika d > d'

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Misalkan kurva melalui (0,0), maka diperoleh persamaan F=0

Konsep Jarak:

Dimana: A=1 , B=1 , C=0, D=-2a, E=-2b, dan F= a² + b²-r²

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0, A dan B≠0

Persamaan umum Lingkaran (x - a)² + (y - b )² = r²

Contoh:

      Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5.

Penyelesaian:

Jadi, persamaan lingkaran yang ydidapat yaitu

Garis Singgung Lingkaran

        Sifat garis singgung yaitu tegak lurus terhadap jari-jari.

  Rumus Garis Singgung Tegak Lurus:

Garis Singgung Antara 2 Lingkara

1.      Garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis singgung dua lingkaran  yang memotong  garis 2 titik pusat.

2.      Garis singgung persekutuan luar lingkaran

Garis singgung persekutuan luar adallah garis singgung yang tidak memotong garis dua titik pusat.

  Contoh soal:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²+y²=25 yang sejajar garis y=2x+3

Identifikasi masalah:

·         Persamaan lingkaran x²+y²=25 yaitu lingkaran yang berpusat di (0,0), jari-jari 5.

·         Misal garis h : y = 2x +3

·         Missal garis singgung lingkaran k dan k // h

·         K : y = 2x + c

Data yang dibutuhkan titik singgung agar nilai c diperoleh strategi pemecahan masalah:

            Mencari titik singggung dengan sketsa masalah.

 

P₁ dan P₂ pada lingkarang maka :

x₁² + y₁² = 25

x₂² + y₂² = 25

P₁ dan P₂ pada garis singgung:

y₁ = 2x₁ + c

y₂ = 2x₂ + c

 Substitusikan persamaan y = 2x + c dan x₁² + y₁² = 25

x² + (2x + c )² = 25

x² + 4x² + 4xc + c² = 25

5x² + 4cx + c² = 25

5x² + 4cx + c² - 25 = 0

Agar memiliki solusi riil, syarat garis singgung adalah D=0.

b² - 4ac = 0

(4c)² - 4.(5) ( c² - 25 ) = 0

16c² - 20c² + 500 = 0

-4c² + 500 = 0

c² = 500

c² = 125

c = ± √125

c = ±5

Jadi, persamaan garis singgungnya  :

y = 2x - 5√5

dan

y = 2x + 5√5

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.